Теория колебаний

3 и 4 курсы (5 и 6 семестры), 64 часа
Лекторы: проф. Пятаков А.П.(5 семестр) и проф. Балакший В.И.(6 семестр)

ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ

Краткая аннотация

Курс "Теории колебаний" является основой профессиональной подготовки специалистов-радиофизиков, так как колебательные процессы широко распространены в природе и находят применение во многих практических приложениях. Цель лекционного курса - познакомить студентов с основными колебательными явлениями и методами их теоретического и экспериментального исследования, а также сформировать у них базу, позволяющую с единых позиций анализировать и истолковывать колебательные явления в системах различной физической природы, созданных, в том числе, на основе нанотехнологий. Рассматриваются наиболее общие закономерности, имеющие место в колебательных системах различной сложности: от простейших механических и электрических устройств до лазеров. Изучаются линейные, нелинейные и автоколебательные системы с постоянными и переменными параметрами, имеющие разное число степеней свободы. При этом в каждом отдельном случае используются те из известных методов теоретического анализа, которые наиболее адекватны данной задаче. Во всех случаях теоретический анализ сопровождается качественным физическим объяснением особенностей колебательных процессов.

Разделы курса

1. Введение.
   Предмет теории колебаний. Необходимость единого рассмотрения колебательных явлений, встречающихся в различных разделах физики и техники. Создание основ теории колебаний, её развитие, применение к различным процессам в природе и технике, разработка математических методов, экспериментальные исследования. Работы Релея, А.Пуанкаре, А.М.Ляпунова, Б.Ван-дер-Поля, Л.И.Мандельштама, А.А.Андронова. Кинематический и динамический подходы к рассмотрению колебательных процессов. Выбор моделей для рассмотрения и классификации колебательных систем.
2. Свободные колебания в системах с одной степенью свободы.
   Общие свойства колебательных систем с одной степенью свободы. Консервативные системы. Роль начальных условий. Кинетическая и потенциальная энергии колебательного движения. Представление движений с помощью фазовой плоскости. Особые точки - положения равновесия; типы движений и фазовых траекторий, сепаратрисы. Колебания в системе со слабой нелинейностью. Гармоническое приближение. Неизохронность колебаний нелинейных систем. Диссипативные системы. Типы особых точек и фазовых портретов диссипативных систем. Поэтапное рассмотрение. Условия сшивания этапов. Построение фазовых траекторий методом изоклин.
3. Колебания в системах с одной степенью свободы при внешнем воздействии.
   Виды воздействия - силовое (прямое) и параметрическое. Поведение нелинейных систем при силовом воздействии. Неприменимость принципа суперпозиции. Случай слабо нелинейной системы. Приближённые расчёты вынужденных колебаний в нелинейных системах для частных случаев. Параметрическое воздействие на колебательные системы. Адиабатически медленное изменение параметров. Адиабатические инварианты. Адиабатические инварианты математического маятника и струны. Параметрическое воздействие с частотами, соизмеримыми с частотой колебаний системы в автономном режиме. Параметрическое возбуждение. Элементарная теория параметрического возбуждения колебаний. Параметрический резонанс в линейных и нелинейных системах. Приближённый расчёт параметрического возбуждения колебаний в системе с малой нелинейностью. Параметрическая регенерация. Вынужденные колебания в параметрически регенерированной системе. Одноконтурный параметрический усилитель. Движение систем с быстро меняющимися параметрами. Маятник на вибрирующем подвесе. Движение заряженных частиц в быстро осциллирующем поле. Лазер на свободных электронах.
4. Метод медленно меняющихся амплитуд.
   Обоснование метода для слабо нелинейных и слабо затухающих систем. Основные уравнения для определения медленно меняющихся амплитуд. Рассмотрение устойчивости стационарных состояний. Вариант метода с медленно меняющейся амплитудой и фазой. Комплексная форма. Применение метода медленно меняющихся амплитуд к рассмотрению свободных и вынужденных колебаний, к случаю параметрического возбуждения и параметрической регенерации.
5. Элементы теории автоколебаний.
   Общие определения автоколебательных систем и специфика их энергетики. Автоколебательные системы релаксационного типа. Разрывная трактовка вырожденных релаксационных систем при замене быстрых этапов движения мгновенными скачками. Условия скачка. Переход от релаксационных систем к системам резонаторного типа. Качественное рассмотрение методом фазовой плоскости. Автоколебательные системы томсоновского типа. Применение метода медленно меняющихся амплитуд. Мягкий и жесткий режимы возбуждения автоколебаний и их представление на фазовой плоскости. Воздействие внешней гармонической силы на автоколебательную систему с одной степенью свободы. Принудительная синхронизация. Тушение автоколебаний.
6. Стохастические колебания в динамических системах.
   Устойчивость движения. Орбитная устойчивость, устойчивость по Пуассону и Ляпунову. Простые и странные аттракторы. Динамический хаос. Зависимость движения систем с регулярной и стохастической динамикой от начальных условий. Отображение Пуанкаре. Признаки стохастической динамики. Примеры систем с динамическим хаосом.
7. Линейные колебательные системы с двумя степенями свободы.
   Число степеней свободы колебательной системы. Неоднозначность разбиения сложной системы на парциальные. Частоты нормальных колебаний и коэффициенты распределения амплитуд. График Вина. Связь и связанность как характеристики энергообмена между парциальными системами при свободныхколебаниях. Время перекачки энергии и роль затухания в реальной системе. Вынужденные колебания в системах с двумя степенями свободы (консервативные и слабо диссипативные системы). Понятие ортогональности внешней силы и собственного колебания. Принцип взаимности и его проявления в системе с двумя степенями свободы.
8. Параметрические и автоколебательные системы с двумя степенями свободы.
   Параметрическое усиление в системе с двумя степенями свободы, с нелинейными реактивными элементами. Нерегенеративный двухконтурный параметрический усилитель. Физический смысл максимального коэффициента усиления. Регенеративный параметрический усилитель с двумя контурами. Связь коэффициента усиления и полосы усиливаемых частот. Двухконтурный параметрический генератор с несинхронными и синхронными частотами. Автоколебательная система с двумя степенями свободы. Случай реактивной и резистивной связи. Основные режимы генерации. Возможность возникновения хаотических колебаний. Явление затягивания частоты. Области гашения автоколебаний. Условия стабилизации частоты генератора высокодобротным контуром.
9. Колебания в системах со многими степенями свободы.
   Матричная форма записи уравнений колебаний в линейных системах с n степенями свободы. Нормальные координаты. Ортогональность нормальных колебаний. Экстремальные свойства собственных частот. Вынужденные колебания в системах с n степенями свободы. Системы с n степенями свободы с нелинейной реактивностью. Соотношения Мэнли - Роу. Их физический смысл и применение к анализу двухконтурных параметрических усилителей.
10. Колебательные процессы в распределённых системах.
    Понятие о распределённой колебательной системе. Телеграфные уравнения и условия их применимости в неквазистационарной системе. Собственные колебания в системах конечной длины. Роль граничных условий и точечной неоднородности. Принцип взаимности в распределённой системе. Лазер как распределённая автоколебательная система. Разложение поля по нормальным модам. Условия самовозбуждения. Двухмодовый режим. Анализ на фазовой плоскости случаев сильной и слабой связи между модами. Понятие о самосинхронизации мод лазера на примере трёхмодового режима генерации. Короткие световые импульсы.
11. Колебания в наноразмерных структурах.
    Специфика наноразмерных электрических колебательных систем. Кинетическая индуктивность. Колебания в цепочке атомов (модель одномерного кристалла). Акустические и оптические фононы. Дисперсионные зависимости для одноатомных и двухатомных структур. Оптические микрорезонаторы с модами шепчущей галереи. Типы колебаний, методы их возбуждения. Применение пассивных микрорезонаторов для фильтрации оптического излучения и стабилизации частоты лазеров. Активные устройства на основе микрорезонаторов: оптоэлектронные генераторы, модуляторы, переключатели, параметрические генераторы.

Литература

Основная

1. В.В.Мигулин, В.И.Медведев, Е.Р.Мустель, В.Н.Парыгин. «Основы теории колебаний», «Наука», 1988г., 2-е изд.
2. С.П.Стрелков. «Введение в теорию колебаний». «Наука»,1964.

Вспомогательная

1. Л.И.Мандельштам. «Лекции по теории колебаний», Собр. соч. Т.4, изд. АН СССР, 1950.
2. А.А.Андронов, А.А.Витт, С.Э.Хайкин. «Теория колебаний», «Наука», Физ.- мат. гиз, 1981.
3. Г.С.Горелик. «Колебания и волны», ГТТМ, Физ.-мат.гиз.,1950.
4. Н.Н.Боголюбов, Ю.А.Митропольский. «Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний», ГТТИ, 1955.
5. К.Ф.Теодорчик. Автоколебательные системы, ГТТИ,1952.
6. Т.Хаяси. «Нелинейные колебания в физических системах», «Мир», 1968.
7. М.И.Рабинович, Д.И.Трубецков. «Введение в теорию колебаний и волн», Наука, 1984.
8. О.Блакьер. «Анализ нелинейных систем», «Мир», 1969.

Задачи по курсу теории колебаний.

Кузнецов Ю.И., Введение в теорию динамических систем.

Дополнительные материалы по курсу "Теория колебаний" (варианты контрольных работ, вопросы к экзамену и т.п.)